Šešioliktainė skaičiavimo sistema

Šešioliktainė skaičiavimo sistema labiausiai paplitusi programavime. Sistema naudoja 16 skaitmenų: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.  Taigi, pavyzdžiui, skaičiaus 14 atitikmuo šešioliktainėje sistemoje yra E.

Pora pavyzdžių kaip konvertuoti skaičius iš dešimtainės sistemos į šešioliktainę:

39(10) = ?

39/16 = 2 ir liekana 7;

2/16 = 0 ir liekana 2.

39(10) = 27(16).

43868(10) = ?

43868/16 = 2741 ir liekana 12 -> C;

2741/16 = 171 ir liekana 5;

171/16 = 10 ir liekana 11 -> B;

10/16 = 0 ir liekana 10 -> A.

43868(10) = AB5C(16)

Published in: on gegužės 28, 2010 at 10:24 am  Parašykite komentarą  
Tags:

Aštuntainė skaičiavimo sistema

Aštuntainė skaičiavimo sistema naudoja skaitmenis nuo 0 iki 7. Iš dešimtainės skaičiavimo sistemos, kurią dažniausiai naudojame, skačiai gali būti lengvai konvertuojami į aštuntainės skaičiavimo sistemos skaičių. Pora pavyzdžių, kaip tai daryti:

Tarkime norim skaičių 34 paversti į aštuntainė skaičiavimo sistemą.

34 : 8 = 4 ir liekana 2;

4 : 8 = 0 ir liekana 4.

Imam skaitmenis nuo apačios į viršų ir gauname, kad 34(10) = 42(8).

172(10) = ?

172 : 8 = 21 ir liekana 4;

21 : 8 = 2 ir liekana 5;

2 : 8 = 0 ir liekana 2.

172(10) = 254(8).

5792(10) = ?

5792 : 8 = 724 ir liekana 0;

724 : 8 = 90 ir liekana 4;

90 : 8 = 11 ir liekana 2;

11 : 8 = 1 ir liekana 3;

1 : 8 = 0 ir liekana 1.

5792(10) = 13240(8)

Iš aštuntainės skaičiavimo sistemos skaičių paversti i dešimtainės sistemos skaičių dar paprasčiau:

473(8) = ?

473 = 4*8^2 + 7*8^1 + 3*8^0 = 256 + 56 + 3 = 315

473(8) = 315(10)

6451(8) = ?

6451 = 6*8^3 + 4*8^2 + 5*8^1 + 1*8^0 = 3072 + 256 + 40 + 1 = 3369

6451(8) = 3369(10)

Published in: on gegužės 24, 2010 at 11:37 am  Comments (2)  
Tags:

Dvejetainė skaičiavimo sistema

Trumpai ir paprastai apie dvejetainę skaičiavimo sistemą:

Ši skaičiavimo sistema naudoja tik du simbolius – 0 ir 1. Kasdieniniame gyvenime mes naudojam dešimtainę skaičiavimo sistema, o dvejetainė dažniausiai naudojama informatikoje. Bet kokį skaičių dešimtainėje sistemoje galima nesunkiai konvertuoti į dvejetainės sistemos skaičių. Imkime paprasčiausią pavyzdį – skaičių 10. Daliname 10 iš 2, gauname skaičių be liekan0s (5), taigi rašome simbolį 0. Toliau viskas vyksta analogiškai: 5/2 = 2,5 (skaičius su liekana, taigi rašome 1), 2/2=1 (rašome 0), 1/2=0,5 (rašome 1).  Gautus skaičius surašome atvirkštine tvarka ir gauname 1010. Tai ir yra skaičius 10 dvejetainėje skaičiavimo sistemoje. Kiti pavyzdžiai:

24/2 = 12 (0) ; 12/2 = 6 (0) ; 6/2 = 3 (0) ; 3/2 = 1,5 (1) ; 1/2 = 0.5 (1)

24 = 11000;

73/2 = 36,5 (1) ; 36/2 = 18 (0) ; 18/2 = 9 (0) ; 9/2 = 4,5 (1) ; 4/2 = 2 (0) ; 2/2 = 1 (0) ; 1/2 = 0,5 (1)

73 = 1001001.

Published in: on gegužės 18, 2010 at 8:40 pm  Comments (2)  
Tags:

Primityvios šaknys

Apibrėžimas. Skaičius a, reliatyviai pirminis su m, vadinamas primityvia šaknimi moduliu m, jei r_m(a)=\varphi(m)

Pavyzdys. Reikia rasti visų reliatyviai pirminių skaičių su 14 rodiklius.

Sprendimas:

Reliatyviai pirminiai skaičiai su 14 yra 1,3, 5, 9, 11, 13 nes jų didžiausias bendras daliklis su skaičiumi 14 yra 1. Šių skaičių rodikliai gali būti tik \varphi(14)=6 dalikliai, t.y. 1,2,3,6. Taigi:

1^1 \equiv 1(mod 14)

3^1 \equiv 3(mod 14) 3^2 \equiv 9(mod 14) 3^3 \equiv -1(mod 14) 3^6 \equiv 1(mod 14)

5^1 \equiv 5(mod 14) 5^2 \equiv 11(mod 14) 5^3 \equiv -1(mod 14) 5^6 \equiv 1(mod 14)

9^1 \equiv 9(mod 14) 9^2 \equiv -3(mod 14) 9^3 \equiv 1(mod 14)

11^1 \equiv 11(mod 14) 11^2 \equiv 9(mod 14) 11^3 \equiv 1(mod 14)

13^1 \equiv 13(mod 14) 13^2 \equiv 1(mod 14)

Taigi matome, kad r(1)=1, r(3)=6, r(5)=6, r(9)=3, r(11)=3, r(13)=2

Kadangi r_{14}(a)=\varphi(14)=6 , tai primityvios šaknys moduliu 14 yra skaičiai 3 ir 5.

Published in: on gegužės 17, 2010 at 11:43 am  Comments (1)  
Tags:

Oilerio funkcija

Oilerio funkcija žymima \varphi (m) . Jos reikšmė yra lygi natūrinių skaičių, ne didesnių už m ir reliatyviai pirminių su m skaičiui.  Iš Oilerio funkcijos apibrėžimo išplaukia, kad \varphi (1) =1.

Oilerio funkcija apskaičiuojama taip:

\varphi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})

Čia p_1 , p_2 , ... , p_k – pirminiai skaičiai.

Pora pavyzdžių.:

\varphi (10)=10(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})=4

\varphi (6)=6(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})=2

\varphi (8)=2^3(1-\frac{1}{2})=4

Jei skaičiuojame pirminio skaičiaus Oilerio funkcija, galime naudoti šią formulę:  \varphi (p)=p-1 . p – būtinai turi būti pirminis.

Dar pora pavyzdžių:

\varphi (3)=3-1=2

\varphi (7)=7-1=6

\varphi (11)=11-1=10

Ši formulė taikoma visiems pirminiams skaičiams išskyrus 1: \varphi (1)=1 pagal apibrėžimą.

Published in: on gegužės 16, 2010 at 7:27 pm  Comments (1)  
Tags:

Leonardo Fibonacci

Šiek tiek supažindinsiu su Leonardo Fibonacci bei pagrindiniais jo darbais.

Leonardo Fibonacci (1170 – 1250) bene žymiausias viduramžių Italų matematikas. Gimė pasiturinčio prekybininko šeimoje, būdamas jaunas keliavo su tėvu darbo reikalais ir taip sužinojo apie indų – arabų skaičiavimo sistemą. Jis pastebėjo, kad ši skaičiavimo sistema yra paprastesnė ir efektyvesnė nei Romėnų skaičiavimo sistema. Pradėjo daug keliauti po viduržemio šalis ir mokytis pas tuomet buvusius žymius Arabų matematikus. Grįžęs iš savo kelionių išleido Abako knygą (Liber Abaci), kurioje supažindino europiečius su Indų – Arabų skaičiavimo sistema taip pat išdėstė aritmetiką ir algebrą, aprašė rekurenčios sekos atvejį, kuris vėliau tapo žinomas kaip Fibonacci seka. Ši seka Indų matematikams buvo žinoma jau 6 amžiuje, tačiau Fibonacci pirmasis ją pristatė vakariečiams. Fibonacci seka aprašoma taip: F_0 = 0 , F_1 = 1 o kiekvienas sekantis sekos narys yra lygus dviejų prieš jį einančių narių sumai, t.y.: F_{n+1} = F_{n-1} + F_{n} , taigi F_2 = 1 , F_3 = 2 , F_4 = 3 ir taip toliau.

Published in: on kovo 7, 2010 at 12:10 pm  Comments (4)  
Tags:

Polinomai

Labai trumpai ir kiek įmanoma aiškiai apie polinomus:

Polinomas – tai reiškinys sudarytas iš skaičių ir kintamųjų, kurie tarpusavyje sudėdami, atimami, dauginami arba keliami natūraliuoju laipsniu. Paprastas polinomo pavyzdys: 2x + 4 , tačiau  \dfrac{2}{x} + 4 arba 2x + 4^\frac{1}{3} nėra polinomai, nes pirmu atveju naudojama dalyba, o antru – vienas iš narių keliamas laipsniu, kuris nėra natūralusis. Polinomas, sudarytas iš dviejų narių, pavyzdžiui 2 + x vadinamas binomu.

Dar keletas pavyzdžių kas yra ir kas nėra polinomai:

Polinomai:

5x

2x - 3

7xy + 4yz - xz

9

Nėra polinomai:

\dfrac{5}{x+1}

1^{-2}

Published in: on vasario 28, 2010 at 6:55 pm  Comments (5)  
Tags:

Natūralieji skaičiai

Šiandien truputi parašysiu apie natūraliuosius skaičius.

Natūralieji skaičiai turbūt plačiausiai naudojami skaičiai kasdieniniame gyvenime. Vaikystėje mokydamiesi skaičiuoti, jaunystėje skaičiuodami minutes, likusias iki matematinės analizės paskaitos pabaigos, suaugę skaičiuodami valandas, likusias iki darbo pabaigos, naudojame būtent natūraliuosius skaičius. Tai yra visi teigiami sveikieji skaičiai.  Ilgą laiką buvo nesutariama, ar nulis yra natūralusis skaičius.  Matyt iki galo taip ir nenutarta, taigi natūralieji skaičiai neskaitant nulio žymimi raide N = \{1,2,...\} o  su nuliu N_0 = \{0,1,2,...\} . Kadangi natūraliųjų skaičių aibė yra sveikųjų skaičių poaibis, tai daugelis sveikųjų skaičių savybių tinka ir natūraliesiems skaičiams, pvz.: a + b = b + a arba ab = ba ir t.t.  Šiai skaičių aibei apibrėžtos tik sudėties ir daugybos operacijos, nes dviejų naturaliųjų skaičių suma ir sandauga visuomet bus natūralusis skaičius, tuo tarpu pavyzdžiui dviejų natūraliųjų skaičių atimtis gali būti neigiamas skaičius ( a - b < 0 jei a < b ) Matyt todėl žmonėms ir prisireikė sveikųjų skaičių…

Published in: on vasario 18, 2010 at 4:23 pm  Comments (6)  
Tags:

Merseno skaičiai

Merseno skaičiai – tai teigiami sveikieji skaičiai, turintys pavidalą M_p = 2^p - 1 . Ieškant Marseno pirminių skaičių reikalaujama, kad p būtų taip pat pirminis, nes pvz.:  M_8 = 2^8 - 1 = 255 , o tai jau nėra pirminis skaičius, nes jis dalijasi ne tik iš savęs ir 1, bet ir pvz iš 5. Papraščiausias Merseno pirminio skaičiaus pavyzdys: M_5 = 2^5 - 1 = 31 .  Nesunku įsitikinti, kad 31 išties yra pirminis skaičius.

Nemažai žmonių bando surasti vis didesni pirminį skaičių. Tai atrodytu nera labai sunku, tačiau būna taip, kad ieškant pirminių skaičių su Merseno formule, gaunamas skaičius, kuris išties nėra pirminis, pvz.: M_{11} = 2^{11} - 1 = 2047 . Nors ir tenkinama sąlyga, kad p=11 yra pirminis, tačiau 2047 dalijasi ne tik iš vieneto ir sąvęs, bet ir iš 23 bei 89. Tai gerokai apsunkina didelių pirminių skaičių paiešką ir kartu daro ją kur kas idomesne.  Šiuo metu didžiausias žinomas 47 Merseno pirminis skaičius, t.y.: M_{43,112,609} = 2^{43,112,609} - 1 . Savaime suprantama,  tokį skaičių įsivaizduoti yra neįmanoma, jį sudaro net 12978189 skaitmenų.

Published in: on vasario 14, 2010 at 12:06 pm  Comments (8)  
Tags: